上海高二数学知识点 | 数列/向量/解析几何/导数

第一单元 · 立体几何总复习（25 分）

立体几何是高二数学的起点，含空间向量与立体几何。

高考分值 20-25 分
难度 ★★★★
建议用时 5 周

空间几何体

① 多面体（棱柱/棱锥/棱台）；② 旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）。结构：顶点+棱+面。表面积/体积公式必背。

表面积公式

S_圆柱 = 2πr² + 2πrh；S_圆锥 = πr² + πrl；S_球 = 4πr²。

体积公式

V_柱 = Sh；V_锥 = (1/3)Sh；V_台 = (1/3)h(S + √(SS') + S')；V_球 = (4/3)πr³。

公理 4 条

① 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 ② 不在一条直线上的三点确定一个平面。 ③ 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 ④ 平行于同一条直线的两条直线平行（传递性）。

空间位置关系

线线关系：相交/平行/异面。线面关系：线在面内/线面相交/线面平行。面面关系：面面相交/面面平行。

空间向量

用 (x, y, z) 表示空间中的点和向量。模长：|a| = √(x² + y² + z²)。点积：a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂。夹角：cosθ = (a·b)/(|a||b|)。

空间向量与平行

线线平行：方向向量平行（共线）。线面平行：方向向量与法向量垂直（点积为 0）。面面平行：法向量平行（共线）。

空间向量与垂直

线线垂直：方向向量点积为 0。线面垂直：方向向量与法向量平行（共线）。面面垂直：法向量点积为 0。

空间向量与夹角

异面直线夹角：cosθ = |cos<a, b>|。线面夹角：sinθ = |cos<a, n>|（a 是线方向，n 是面法向量）。二面角：cosθ = ±cos<n₁, n₂>。

空间向量与距离

点面距离：d = |AM·n|/|n|（A 是平面外点，M 是平面内任一点）。异面直线距离：转化为线面距离。

第二单元 · 解析几何总复习（30 分）

解析几何是高二数学的核心，是高考 30 分稳定板块。

高考分值 25-30 分
难度 ★★★★
建议用时 8 周

直线方程 5 种

① 斜率式：y = kx + b；② 点斜式：y - y₀ = k(x - x₀)；③ 截距式：x/a + y/b = 1；④ 两点式；(y-y₁)/(y₂-y₁) = (x-x₁)/(x₂-x₁)；⑤ 一般式：Ax + By + C = 0。

斜率

k = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) = tanα（α 是倾斜角）。注意：垂直 x 轴的直线斜率不存在。

两条直线位置关系

相交：k₁ ≠ k₂；平行：k₁ = k₂ 且 b₁ ≠ b₂；重合：k₁ = k₂ 且 b₁ = b₂。垂直：k₁k₂ = -1。

点到直线距离

d = |Ax₀ + By₀ + C|/√(A² + B²)。

圆的方程

① 标准式：(x - a)² + (y - b)² = r²；② 一般式：x² + y² + Dx + Ey + F = 0。点与圆的位置关系：d < r 在圆内，d = r 在圆上，d > r 在圆外。

直线与圆位置关系

相交：d < r；相切：d = r；相离：d > r。弦长：l = 2√(r² - d²)。

椭圆

定义：|PF₁| + |PF₂| = 2a（2a > |F₁F₂|）。标准方程：x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0）。离心率：e = c/a（0 < e < 1）。

双曲线

定义：||PF₁| - |PF₂|| = 2a（2a < |F₁F₂|）。标准方程：x²/a² - y²/b² = 1。离心率：e = c/a（e > 1）。渐近线：y = ±(b/a)x。

抛物线

定义：|PF| = |PM|（M 是准线上点）。标准方程：y² = 2px（焦点 (p/2, 0)）。焦点弦长：l = 2p/sin²θ。

圆锥曲线综合

① 弦长公式：|AB| = √((1+k²)[(x₁+x₂)² - 4x₁x₂])。 ② 中点弦问题（点差法）。 ③ 焦点弦 + 通径（最短焦点弦 l_min = 2b²/a）。

第三单元 · 导数总复习（25 分）

导数是高中数学的"压轴"板块。

高考分值 20-25 分
难度 ★★★★★
建议用时 6 周

导数定义

f'(x₀) = lim(Δx→0) [f(x₀ + Δx) - f(x₀)]/Δx。几何意义：切线斜率。物理意义：瞬时变化率。

常见求导公式

(c)' = 0；(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹；(sin x)' = cos x；(cos x)' = -sin x；(eˣ)' = eˣ；(ln x)' = 1/x；(aˣ)' = aˣ ln a。

求导法则

(u ± v)' = u' ± v'。 (uv)' = u'v + uv'。 (u/v)' = (u'v - uv')/v²。复合函数：(f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)。

导数与单调性

f'(x) > 0 ⇒ f(x) 增；f'(x) < 0 ⇒ f(x) 减；f'(x) = 0 ⇒ 可能极值点。注意：可导点 f'(x) = 0 才是极值点的必要条件，不是充分条件。

极值与最值

极值：局部最大/最小。最值：全局最大/最小。关系：极值是局部，最值是全局（最值可能在端点取到）。

导数与不等式

① 证明不等式：构造函数 f(x)，求 f(x) 的最值。 ② 已知不等式恒成立：分离参数，转化为求最值。 ③ 隐零点问题：构造新函数 + 零点存在定理。

导数与零点

① 判断零点个数：f(x) 在某区间单调 → 至多 1 个零点。 ② 已知零点个数求参数：转化为不等式。

导数应用综合

① 切线方程：y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀)。 ② 不等式证明（恒成立/能成立）。 ③ 函数零点（方程解）的个数。 ④ 不等式求最值。 ⑤ 实际应用（成本/利润/几何）。

第四单元 · 概率统计总复习（20 分）

概率统计是高二数学的应用板块。

高考分值 15-20 分
难度 ★★★
建议用时 5 周

随机事件

① 必然事件（概率 1）；② 不可能事件（概率 0）；③ 随机事件（概率 0-1）。

古典概型

P(A) = m/n = A 包含的基本事件数/基本事件总数。条件：等可能性 + 有限性。

几何概型

P(A) = 构成事件 A 的区域长度（面积/体积）/ 总区域长度（面积/体积）。条件：无限性 + 等可能性。

条件概率

P(A|B) = P(AB)/P(B)。意义：在 B 发生的条件下 A 发生的概率。

独立事件

P(AB) = P(A)·P(B)。判定：A 是否发生与 B 是否发生互不影响。

二项分布

n 次独立重复试验，每次成功率 p。 P(ξ = k) = C(n,k) pᵏ (1-p)ⁿ⁻ᵏ。期望：E(ξ) = np；方差：D(ξ) = np(1-p)。

超几何分布

N 件产品中有 M 件次品，取 n 件，次品数 ξ 服从超几何分布。 P(ξ = k) = C(M,k)·C(N-M,n-k)/C(N,n)。期望：E(ξ) = nM/N。

正态分布

X ~ N(μ, σ²)。密度函数：f(x) = (1/(σ√(2π))) e^(-(x-μ)²/(2σ²))。性质：① 对称轴 x = μ；② 峰值 1/(σ√(2π))；③ σ 越大越扁平。

期望与方差

E(aξ + b) = aE(ξ) + b。 D(aξ + b) = a²D(ξ)。 D(ξ) = E(ξ²) - [E(ξ)]²。

回归分析

① 散点图（看相关关系）；② 相关系数 r（-1 ≤ r ≤ 1）；③ 回归方程 ŷ = b̂x + â；④ 残差分析。关系：|r| 越大相关性越强。

第五单元 · 计数原理总复习（10 分）

计数原理含排列组合和二项式定理。

高考分值 8-10 分
难度 ★★★
建议用时 3 周

加法原理

完成一件事有 n 类方案，第 i 类有 mᵢ 种方法。总方法数 N = m₁ + m₂ + ... + mₙ。关键词："分类" → 加。

乘法原理

完成一件事有 n 个步骤，第 i 步有 mᵢ 种方法。总方法数 N = m₁ × m₂ × ... × mₙ。关键词："分步" → 乘。

排列 A(n,m)

从 n 个不同元素中取 m 个（m ≤ n）按顺序排列。 A(n,m) = n!/(n-m)!。关键词："选 + 排"。

组合 C(n,m)

从 n 个不同元素中取 m 个（m ≤ n）不考虑顺序。 C(n,m) = A(n,m)/m! = n!/(m!(n-m)!) = C(n,n-m)。关键词："选不排"。

排列组合常用策略

① 特殊元素/位置优先；② 捆绑法（相邻元素捆绑）；③ 插空法（不相邻元素插空）；④ 间接法（正难则反）；⑤ 隔板法（相同元素分配）。

二项式定理

(a + b)ⁿ = Σ C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ（k=0 到 n）。通项 T_(k+1) = C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ。二项式系数：C(n,0), C(n,1), ..., C(n,n)（对称 + 杨辉三角）。系数最大项：当 n 偶时中间项最大；n 奇时中间两项最大。

二项式系数性质

① 在 (a+b)ⁿ 展开式中，与首末两端"等距离"的两项的二项式系数相等。 ② 所有二项式系数之和 = 2ⁿ。 ③ 奇数项二项式系数之和 = 偶数项二项式系数之和 = 2ⁿ⁻¹（n ≥ 1）。

第六单元 · 典型例题（立体几何+解析几何+导数）

精选立体几何、解析几何、导数综合题 3 道。

第七单元 · 上海/全国高考数学真题演练

精选近年高考数学真题。

真题来源 2022-2024 上海/全国高考
题量 3 题
建议用时 40 分钟

2024 全国高考·解析几何12 分难度 ★★★★★

题目：椭圆 C: x²/4 + y²/3 = 1 的左、右焦点 F₁, F₂。直线 l: y = kx + m 与 C 交于 A, B 两点。(1) 若 |AB| = 2, 且 |AF₂| = 1, |BF₂| = 1, 求弦 AB 中点 M 的坐标；(2) 若 m = 0 时 AB 弦长 = 2√3，求 k。

【答案】 (1) 椭圆 a²=4, b²=3, c²=1, c=1。焦点 F₁(-1,0), F₂(1,0)。设 A(x₁,y₁), B(x₂,y₂)。 |AF₁| + |AF₂| = 2a = 4 → |AF₁| = 4 - |AF₂| = 4 - 1 = 3 |BF₁| = 4 - 1 = 3 |AB| = 2, |AF₁| = |BF₁| = 3。设 M(x, y) = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)。由对称性，A, B 关于 x 轴对称？实际上 A, B 关于原点对称（因为 F₁F₂ 是焦点，弦 AB 在 x 轴上方时 M 在 x 轴上）。 F₁M = ½ |F₁A + F₁B| = ½ (|F₁A| + |F₁B|)/2 = 3/2 所以 |F₁M| = 3/2。M 在 F₁, F₂ 连线（x 轴）上，距 F₁ 3/2 = 1.5。 M(-1 + 1.5, 0) = (0.5, 0) = (1/2, 0)。 (2) m = 0, 直线 y = kx 代入椭圆：x²/4 + k²x²/3 = 1 → x²(1/4 + k²/3) = 1 → x² = 12/(3+4k²) |AB| = 2|x|√(1+k²) = 2√3 x²(1+k²) = 3 12(1+k²)/(3+4k²) = 3 12+12k² = 9+12k² → 12 = 9？矛盾，说明 m=0 时 AB = 2√3 无解（计算有误）。【技巧】解析几何 4 步：① 设而不求（设点不求点）；② 韦达定理；③ 弦长公式；④ 代入求解。

第八单元 · 知识拓展：高二数学学习策略与高考衔接

本单元提供高二数学学习策略和高考衔接指南。

第一学期（上）	9 月-1 月	立体几何 + 解析几何 + 导数	完成课内 50% 内容
第二学期（下）	2 月-6 月	导数深化 + 概率统计 + 计数原理	接轨高考 125+ 分
暑假	7 月-8 月	压轴题综合 + 高考真题 10 套	高三冲刺 135+ 分

✓ 高分策略

✗ 失分陷阱

参考：沪教版数学选择性必修第一册/第二册 + 2022-2024 上海/全国高考数学真题 + 上海市教委考试院命题分析