上海高一数学 | 集合·不等式·函数·三角·数列 | 考哪去
依据沪教版高一数学教材（必修第一册/第二册），按"集合·不等式·函数·三角·数列"五大板块系统整合高一数学全部重点、难点和考点。
第一单元 · 集合与逻辑（10 分）
集合是高中数学的"语言"，是所有数学分支的基础。
- 高考分值 5-10 分
- 难度 ★★
- 建议用时 2 周
集合定义
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）。
集合 3 要素
① 确定性（元素是否属于集合明确）；② 互异性（集合中元素互不相同）；③ 无序性（元素顺序无关）。
集合表示法
① 列举法：{1,2,3}；② 描述法：{x | x > 0}；③ Venn 图（韦恩图）。
集合关系
子集：A ⊆ B（包含或等于）；真子集：A ⊊ B；相等：A = B；空集：∅（是任何集合的子集）。
集合运算
并集：A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}；交集：A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}；补集：∁ᵤA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A}。
常用数集
自然数 N；正整数 N*（N+）；整数 Z；有理数 Q；实数 R。
命题
能判断真假的陈述句。分真命题和假命题。
充分必要条件
充分条件：P ⇒ Q；必要条件：Q ⇒ P；充要条件：P ⇔ Q。
第二单元 · 不等式（15 分）
不等式是高中代数的核心工具，含一元二次不等式、均值不等式等。
- 高考分值 10-15 分
- 难度 ★★★
- 建议用时 3 周
不等式性质
① 对称性：a > b ⇔ b < a；② 传递性：a > b, b > c ⇒ a > c；③ 同加性：a > b ⇒ a + c > b + c；④ 同乘性（c > 0）：a > b ⇒ ac > bc。
一元二次不等式
解法：① 化标准 ax² + bx + c > 0；② 求判别式 Δ = b² - 4ac；③ 求根 x₁, x₂；④ 画抛物线（a > 0 开口向上）→ 写出解集。
均值不等式
对正数 a, b：(a + b)/2 ≥ √(ab)，当且仅当 a = b 时取等。推广：n 个正数的算术平均 ≥ 几何平均。
基本不等式
a² + b² ≥ 2ab（当且仅当 a = b 时取等）。变式：a² + b² ≥ (a + b)²/2。
柯西不等式
(a₁b₁ + a₂b₂)² ≤ (a₁² + a₂²)(b₁² + b₂²)。
分式不等式
移项通分 → 不等式组 → 分区间讨论 → 取交集。
绝对值不等式
|x| < a ⇔ -a < x < a；|x| > a ⇔ x > a 或 x < -a。
不等式应用
① 求最值（配凑均值不等式）；② 比较大小；③ 实际应用（成本/利润/几何）。
第三单元 · 函数（30 分）
函数是高中数学的核心主线，含基本初等函数、函数性质、函数应用。
- 高考分值 25-35 分
- 难度 ★★★★
- 建议用时 8 周
函数定义
设 A, B 是非空数集，如果按照某种对应法则 f，使 A 中任意一个 x 在 B 中都有唯一确定的 y 与之对应，则称 f: A → B 为函数。
定义域
函数 f(x) 的自变量 x 的取值范围。求法：分母 ≠ 0；偶次根式内 ≥ 0；对数真数 > 0；0 的 0 次方无意义。
值域
函数 f(x) 的因变量 y 的取值范围。求法：观察法、配方法、换元法、单调性法、不等式法。
单调性
设 x₁ < x₂：f(x₁) < f(x₂) 为增；f(x₁) > f(x₂) 为减。求法：定义法、导数法、图像法。
奇偶性
奇函数：f(-x) = -f(x)，图像关于原点对称。偶函数：f(-x) = f(x)，图像关于 y 轴对称。
一次函数
f(x) = kx + b（k ≠ 0）。k > 0 增，k < 0 减。
二次函数
f(x) = ax² + bx + c（a ≠ 0）。顶点 (-b/2a, (4ac-b²)/4a)。a > 0 开口向上有最小值；a < 0 开口向下有最大值。
反比例函数
f(x) = k/x（k ≠ 0）。图像为双曲线，k > 0 一三象限，k < 0 二四象限。
指数函数
f(x) = aˣ（a > 0, a ≠ 1）。a > 1 增，0 < a < 1 减。恒过 (0, 1)。
对数函数
f(x) = logₐx（a > 0, a ≠ 1）。与指数互为反函数。a > 1 增，0 < a < 1 减。恒过 (1, 0)。
幂函数
f(x) = xᵅ。α > 0 过 (0,0)、(1,1)；α < 0 过 (1,1)。
函数零点
f(x) = 0 的实数根。零点存在定理：f(a)·f(b) < 0 ⇒ (a,b) 内有零点。
第四单元 · 三角函数（20 分）
三角函数是高一数学的重要板块，含任意角、弧度制、三角函数图像与性质。
- 高考分值 15-20 分
- 难度 ★★★
- 建议用时 5 周
任意角
正角（逆时针）/ 负角（顺时针）/ 零角。与终边相同的角：{α + k·360° | k ∈ Z}。
弧度制
1 弧度 = 180°/π。弧长 l = |α|·r。扇形面积 S = (1/2)lr = (1/2)|α|r²。
三角函数定义
设角 α 终边与单位圆交于 P(x, y)：sin α = y；cos α = x；tan α = y/x（x ≠ 0）。
同角三角函数关系
平方关系：sin²α + cos²α = 1；商数关系：tan α = sin α / cos α；倒数关系：tan α · cot α = 1。
诱导公式
奇变偶不变，符号看象限。sin(-α) = -sinα；cos(-α) = cosα；sin(π - α) = sinα；cos(π - α) = -cosα。
正弦函数图像
y = sin x。周期 2π。值域 [-1, 1]。增区间 [-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ]；减区间 [π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ]。
余弦函数图像
y = cos x。周期 2π。值域 [-1, 1]。增区间 [-π + 2kπ, 2kπ]；减区间 [2kπ, π + 2kπ]。
正切函数图像
y = tan x。周期 π。值域 R。增区间 (-π/2 + kπ, π/2 + kπ)。
和差角公式
sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ；cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ。
二倍角公式
sin 2α = 2 sinα cosα；cos 2α = cos²α - sin²α = 1 - 2sin²α = 2cos²α - 1；tan 2α = 2tanα/(1-tan²α)。
第五单元 · 数列（15 分）
数列是高一末尾引入的板块，含等差数列和等比数列。
- 高考分值 10-15 分
- 难度 ★★★
- 建议用时 3 周
数列定义
按一定顺序排列的一列数。aₙ = f(n) 是函数思想。
通项公式
数列第 n 项 aₙ 的表达式。如 aₙ = 2n + 1。
前 n 项和
Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ。递推关系：aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁（n ≥ 2）。
等差数列
aₙ₊₁ - aₙ = d（公差）。通项：aₙ = a₁ + (n-1)d。前 n 项和：Sₙ = na₁ + n(n-1)/2 · d = n(a₁ + aₙ)/2。
等差中项
2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁。
等比数列
aₙ₊₁ / aₙ = q（公比，q ≠ 0）。通项：aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹。前 n 项和：Sₙ = a₁(1-qⁿ)/(1-q) = (a₁ - aₙq)/(1-q)。
等比中项
aₙ² = aₙ₋₁ · aₙ₊₁。
数列求和方法
① 公式法（等差等比）；② 错位相减（等差 × 等比）；③ 裂项相消（1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)）；④ 分组求和（多种数列组合）。
第六单元 · 典型例题（函数+三角+不等式）
精选函数、三角、不等式综合题 3 道。
第七单元 · 上海/全国高考数学真题演练
精选近年高考数学真题。
- 真题来源 2022-2024 上海/全国高考
- 题量 3 题
- 建议用时 40 分钟
第八单元 · 知识拓展：高一数学学习策略与高考衔接
本单元提供高一数学学习策略和高考衔接指南。
| 第一学期（上） | 9 月-1 月 | 集合+不等式+函数+三角 | 完成课内 70% 内容 |
| 第二学期（下） | 2 月-6 月 | 数列+平面向量+解析几何入门 | 接轨高考 120+ 分 |
| 暑假 | 7 月-8 月 | 必修 1-5 综合复习 + 高考真题 | 高三冲刺 130+ 分 |
参考：沪教版数学必修第一册/第二册 + 2022-2024 上海/全国高考数学真题 + 上海市教委考试院命题分析